特别推荐丨老姚专栏：遗漏变量偏差中的高估与低估

 一、一般性规则 

假设真实模型为：，现在遗漏了变量，从而可能出现遗漏变量偏差，亦即简单回归结果中的是对真实影响的有偏估计。那么，估计结果到底是高估还是低估了真实参数呢？很容易证明，一般性规则是：若和的相关系数与同号，则出现高估结果；若和的相关系数与异号，则出现低估结果，具体可参见《计量经济学导论》第四版P.84-86（伍德里奇，2010）。

 二、生活案例 

“ 

小明最近很苦恼，因为虽增加了复习时间，但成绩并没有多大起色。那么，这是否表明他的复习效果很差，故增加额外的复习时间并不重要呢？在此，我们假设成绩由复习时间与能力共同决定，而能力因为无法被直接观测而成为一个被遗漏的变量。接下来考虑两种情况：第一，“笨鸟先飞”，亦即复习时间和能力负相关；第二，越聪明就越擅长，进而越喜欢并越勤奋，亦即即复习时间和能力正相关。

”

根据一般性规则，在第一种情况（复习时间和能力负相关）下，我们会低估复习效果，亦即真实的复习效果（在能力达到正常水平时）要高得多，我们观察到的复习效果是真实复习效果被低能力拉低了的结果。因此，鉴于能力不可能在短时期内提高，那么复习越没有让成绩有多大起色，就越应该加强复习，亦即要以勤补拙。

在第二种情况（复习时间和能力正相关）下，我们会高估复习效果，亦即真实的复习效果（在能力达到正常水平时）要低得多，我们观察到的复习效果是真实复习效果被高能力拔高了的结果。换言之，如果小明的能力没有那么高，属于正常水平，那么他的成绩将增加得更少。由此我们可以推断：既然聪明人或者能力强的人投入更多时间都不能提高成绩，那么试卷难度或许确实太大。

 三、经济学案例 

假设我们现在的任务是评估财政支出的乘数效应。我们知道，财政政策与货币政策往往同时执行。如果在评估财政支出的乘数效应时遗漏了货币政策变量，那么就可能出现遗漏变量偏差。为简单计，我们用基础货币投放量来反映货币政策。在理论上，当财政支出增加时，会出现如下几种情况：

第一，央行实行“沃尔克-格林斯潘”式货币政策，通过货币紧缩来对冲财政政策的通货膨胀效应，结果导致财政支出与基础货币投放量负相关，进而导致乘数效应（在货币政策保持不变时）的低估。

第二，央行盯住真实利率，通过货币政策维持真实利率不变，结果导致财政支出与基础货币投放量正相关。其中的机理是：在保持货币政策不变的情况下，财政支出会提高真实利率，产生所谓的挤出效应，而银行通过加大货币投放维持真实利率不变，则挤出效应就不会发生。此时，会高估乘数效应（在货币政策保持不变时）。

第三，央行盯住名义利率，通过货币政策维持名义利率不变，结果导致财政支出与基础货币投放量正相关。其中的机理是：在保持货币政策不变的情况下，财政支出既会提高真实利率，也会推高通货膨胀水平。由于名义利率-通胀率=真实利率，这意味着名义利率会上涨。若银行通过加大货币投放维持名义利率不变，则会导致高估乘数效应（在货币政策保持不变时）。

有趣的是，情况二与情况三均出现高估结果，那么，哪一种高估会更加严重呢？答案是情况三。这是因为，在情况三中，最终会出现名义利率不变、通胀率上涨进而真实利率下降的结果。与之相比，在情况二中，真实利率保持不变。

 四、一种特殊的遗漏变量偏差 

解决遗漏变量偏差的一般方法是，将被遗漏变量或者其代理变量纳入回归模型加以控制。例如，在前述乘数效应估计的案例中，货币政策变量就应该被控制。但不幸的是，即使进行这样的处理，对乘数效应的OLS估计在一般情况下仍然存在偏差。这是因为，通常存在从经济衰退到财政支出扩张的反向因果关系——正是因面临经济衰退政府才会增加财政开支。这种反向因果关系导致财政开支具有内生性，从而会使得OLS估计出现偏差。

那么，在乘数效应估计一例中，财政开支的内生性究竟会产生怎样的偏差呢？答案是下偏，其直觉是，OLS估计会将经济衰退部分归咎于政府开支，进而低估乘数效应。为了更好地理解这一点，我们不妨进行一个类比——某个地区病人增加，结果有更多的医生过去。医生与病人数正相关，会误导人们认为医生出现导致病人增加。换言之，医生治病的效果被大大低估。

从模型设定上看，财政开支的内生性就是财政开支与误差项负相关，从而违背了对回归模型的标准假定。按照标准假定，误差项是一个白噪声，当然应该与财政开支不相关。但若财政开支与误差项负相关，则误差项就不是一个白噪声，而是包含了重要的系统性信息。OLS估计忽视这一点，把一个原本不是白噪声的变量强制规定为白噪声，结果就会产生一种特殊的遗漏变量偏差。按照遗漏变量偏差的一般性规则，由于误差项的系数被标准化为正数1，而财政开支与误差项负相关，故会产生向下的偏差。

企研学术顾问 · 姚耀军

姚耀军，1976年出生，湖北利川人，浙江工商大学金融学院教授、博士生导师，浙江省高校中青年学科带头人，浙江省首期之江青年社科学者，浙江省“151人才工程”第三层次培养人员，杭州市“十三五”哲学社会科学应用经济学学科组评审专家，企研数据学术顾问。长期从事金融发展理论与实证研究，在《China & World Economy》《Frontiers of Economics in China》《金融研究》《数量经济技术经济研究》《财贸经济》《中国农村经济》等学术期刊上发表论文多篇，部分成果被《新华文摘》《中国法经济学研究》《中国经济的转型升级：新结构经济学方法与应用》《高等学校文科学术文摘》《人大复印资料》收录或者转载。主持教育部人文社科项目、浙江社会科学基金重点项目、浙江省自然科学基金项目等纵向课题多项。荣获中国制度经济学年会优秀论文奖、全国金融硕士教学案例大赛优秀案例奖、浙江省高校优秀科研成果一等奖、《金融研究》优秀论文奖、《财经研究》创刊60周年优秀论文一等奖等荣誉。担任《金融研究》《财经研究》等多个学术期刊的审稿专家。

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作者：姚耀军推荐：杨奇明编辑：青酱

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